1.Fie ai<{1,-1} astfel incat :
(a1)*(a2)+(a2)*(a3)+...+(an-1)*(an)+(an)*(a1)=0.
Aratati ca n este divizibil cu 4.
OBS. Problema este din culegerea " Olimpiada de matematica de la provocare la experienta", (editura Gil) Scrisa de Valentin Vornicu .
Solutie: Sa observam ca produsele de forma (ai)*(ai+1) sunt in numar de n. Valoarea oric[rui produs de forma (ai)*(ai+1) poate fi 1 sau -1. Rezultatul sumei este 0, deci numarul numerelor de 1 va fi egal cu numarul numerelor de forma -1. Obtinem n este par. Fie n=2k.
Notam cu pi=(ai)*(ai+1).
Sa observam ca (p1)*(p2)*...*(pn)=(-1)*(-1)* ... *(-1) unde 1 se repeta de k ori = (a1
2 2
*a2*...*an) . Cum numarul (a1*a2*...*a n) este un intreg pozitiv rezulta ca si k este par. De aici rezulta concluzia.
Matematică Clasa a VII-a
[ material propus de radumiron2006 si vizualizat de 509 ori]
|
